Задача про муравья и нить.
Имеется резиновая нить длиной 1 метр. На один её конец забрался муравей и начал по ней ползти с постоянной скоростью 1 мм/сек. Но в тот самый момент, как муравей начал движение по нити, сама нить стала равномерно растягиваться с постоянной скоростью 1м/сек. Достигнет ли муравей конца нити?
Решение.
Будем рассматривать задачу в неподвижной системе координат, приняв за нулевую точку неподвижный конец нити. Очевидно, что для решения задачи нужно найти формулу, выражающую зависимость координаты муравья (в неподвижной системе) от времени. Абстрагируемся пока от численных значений скоростей и начальной длины нити . Пусть начальная длина нити равна L, скорость движущегося конца нити равна Vк, скорость муравья относительно нити равна Vо.
Обозначим через Xк(t) координату движущегося конца нити в момент времени t.
Очевидно, что, поскольку скорость его постоянна и равна Vк,
Xк(t) = L + Vк * t – эта формула выражает зависимость координаты движущегося конца нити от времени. Как видите, пока всё просто.
Теперь попробуем каким-нибудь образом выразить скорость муравья относительно неподвижной системы в момент времени t. Разумеется, она не будет являться постоянной величиной. Итак,
V = Vо + Vx, где V – скорость муравья относительно неподвижной системы, Vо – скорость муравья относительно нити (она постоянна), Vx – скорость точки нити с координатой X, в которой находится муравей в момент времени t.
Чему же равна Vx ? Тут мы вспоминаем условие задачи о РАВНОМЕРНОМ растяжении нити. Т.е. отношение скоростей Vк / Vx равно отношению координат Xк / X.
Таким образом, Vx = Vк * X / Xк. Подставляя это выражение в формулу для скорости муравья относительно неподвижной системы, получаем:
V = Vо + Vк * X / Xк.
Но, Xк = L + Vк * t, следовательно:
V = Vо + Vк * X / (L + Vк * t)
В этой формуле Vо, Vк , L – константы, а X и V – переменные величины, меняющиеся от времени (t). Как было сказано выше, X – координата, а V – скорость муравья относительно неподвижной системы в момент времени t.
Но ведь скорость – это первая производная координаты по времени, V = dX / dt.
(для непосвященных: d – дифференциал).
Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение:
. dX
............... Vк * X
─── = Vо + ────────
. dt
............. L + Vк * t
которое не хило было бы решить. Решив его, мы сразу же получим формулу, выражающую зависимость координаты муравья (в неподвижной системе) от времени.
Что ж, решаем.
.dX
............... Vк * X
................... dX* (L + Vк * t) - dt * (L + Vк * t) * Vо – dt * Vк * X
─── - Vо - ──────── = 0
=> ──────────────────────────────────────── = 0
.dt
............. L + Vк * t
............................................. dt * (L + Vк * t)
Знаменатель дроби можно сократить, следовательно:
dX* (L + Vк * t) - dt * (L + Vк * t) * Vо – dt * Vк * X = 0.
Тут сразу напрашивается внесение под знак дифференциала выражения L + Vк * t. Ну и внесём, помня, что d(L + Vк * t) = Vк * dt :
dX* (L + Vк * t) - d(L + Vк * t) * (L + Vк * t) * Vо / Vк – d(L + Vк * t) * X = 0.
Дабы не запутаться, обозначим L + Vк * t какой-нибудь другой переменной, например f, т.е.
L + Vк * t = f. Имеем:
dX* f – df * f * Vо / Vк – df * X = 0, или что тоже самое:
Vк * f * dX – Vо * f * df – Vк * X * df = 0
Очевидно, что под дифференциал теперь нужно запихнуть выражение:
.X
── . Его дифференциал раскрываем по известному правилу:
.f
.... X
.......dX
..... X * df
......f * dX – X * df
d ── = ──── – ───── = ─────────── . (здесь f ^ 2 – это f в квадрате).
.... f
........ f
........ f ^ 2
............. f ^ 2
Вернёмся к уравнению, стоящему перед фразой «очевидно, что..» и начнём его преобразовывать.
Vк * f * dX – Vо * f * df – Vк * X * df = 0
=>..Vк * (f * dX – X * df ) – Vо * f * df
────────────────────────── = 0
=>.......................f ^ 2
.f * dX – X * df
.......Vо * df
.............X
......Vо * df
─────────── = ──────
=> d ── = ────── .
........ f ^ 2
.............. Vк * f
.............f
....... Vк * f
Осталось тупо проинтегрировать и получить:
.X
.......Vо
── = ─── * ln(f) + const (здесь ln – натуральный логарифм). Теперь легко находим:
..f
.......Vк
X = f * (Vо * ln(f ) / Vк + const).
Теперь вспоминаем, что f = L + Vк * t и подставляем:
X = (L + Vк * t) * {Vо * ln(L + Vк * t ) / Vк + const}.
Начальные условия были: X = 0 при t = 0. Отсюда находим значение константы:
сonst = – Vо * ln(L) / Vк. Окончательная формула, выражающая зависимость координаты муравья (в неподвижной системе) от времени, такова:
........Vо
X = ─── * (L + Vк * t) * {ln(L + Vк * t ) – ln(L)}.
........Vк
Можно взять производную по t и получить формулу для скорости:
V = X ’(t) = Vо * {ln(L + Vк * t ) – ln(L) + 1}.
Из полученных формул становится очевидно, что при больших значениях t «рост» величины X превысит «рост» величины Xк, т.к. Xк пропорциональна t, а X пропорциональна t * ln(t).
Давайте найдём, через какое время (обозначим его tк) муравей догонит конец нити. Это произойдёт, когда X станет равным Xк, т.е:
..Vо
─── * (L + Vк * tк) * {ln(L + Vк * tк ) – ln(L)} = L + Vк * tк
=>..Vк
.......L * {e^(Vк/Vо) – 1}
tк = ─────────────── .
....................Vк
Подставляя числа из условия задачи (L = 1м, Vо = 0,001 м/с, Vк = 1 м/с), получаем, что
tк = ~ 1,97*10^434 секунд или ~ 6,25*10^426 лет. Т.е., муравей достигнет цели по прошествии количества лет, выраженных 426-значным числом. Неоднократно галактика обернётся вокруг своей оси, а муравей всё будет продолжать свой долгий трудный путь, но всё-таки он сделает это!
Осталось добавить, что всё сие я делал без использования к.-либо справочников, исключительно по памяти. Что же касается "приблизительных" решений без использования мат.анализа, то, по-моему, они не совсем "строгие".
А вообще, хорошая задачка для 3-го курса технического ВУЗа
.
Все это какой-то дешевкой отдает 
.
